走向无穷大及其之外

无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”
　　
　　 有一个故事据说出自杰出的数学家大卫·希尔伯特之口，上述引语就是他说的。一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅馆想要一个房间。店主回答说：“对不起，我们没有任何空位子了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间。”然后店主离开了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间的房客搬到了2号房间，2号房间的房客搬到了3号房间，以此类推直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止。令这位迟来者感到十分吃惊的是，1号房间竟然被腾了出来。很很高兴地搬了进去，然后安顿下来过夜。但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢？(要知道，他来时所有的房间都人了。)后来我们的这位客人渐渐地找到了答案：这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据认为有无数个房间的旅馆！通过使所有房客都从一个房间搬到另一个房间，1号房间便被腾了出来。
　　
　　 这个著名的轶事在某种程度上讲出了无穷大的全部故事。这个故事所涉及的引起人们好奇的悖论和看似不可能的情况，曾使人类困惑了两千余年。这些悖论都源自数学，而且正是这门学科为最后解决这些悖论提供了最成功的途径。对无穷大的澄清和非神秘化仅仅是在本世纪才全部完成的，而且即使是这种功绩也不能说是登峰造极。与各门学科一样，数学的周围也有一种因不完事而带来的清爽空气；一种神秘刚被破解，另一咱新的神秘早已渗入其中。得到对科学的绝对的和最终的理解，是一个难以捉摸的目标，然而正是这种难以捉摸才使得对任何一个科学领域的研究都那么富有刺激性，当然数学也不例外。
　　
　　 很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。他们的现代追随者——物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”——那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个极端的——无限广阔的——尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真像它所呈现在任何于晴朗的黑夜观看天空的人们面前那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！
　　
　　 艺术家也对无穷大进行了研究，他们在画布上以线条描绘出了无穷大，而这些画布和线条成了宝贵的艺术财富。……但是不管我们用什么方法考察无穷大，我们最终都被带回到数学领域，因为正是在这里才有无穷大概念最深的根基。一种观点认为数学就是关于无穷大的科学。
　　
　　 我第一次遇到无穷大时还是个小男孩。别人给了我一本书，这本书是犹太教法典中的传说部分，讲的是出埃及记的故事。书的封面上是一幅画，画中的一个小男孩手中拿着一本与该书相同的书。当我他细看时，可以看到在小男孩拿的那本小书的封面上还是相同的画。可能这幅画又出现在画中的画里面——我记不太清楚了。但是我确实记得，当时我头脑中的那个想法就是：如果有可能继续这一过程，那么它将永远继续下去！这种可能性十分有趣；当时我还不知道，一个那时还不太出名的荷兰画家毛里茨·c·埃舍尔已对这种观念很着迷，并且在他的作品中把这种观念表达了出来，从而把这个过程实话到使用绘画工具能够达到的最大限度。